FEST_MeE_T1

1. Praktische Festigkeitsrechnung Mit der Festigkeitsrechnung soll die Frage beantwortet werden, wie weit ein Bauteil den zu erwartenden Belastungen gewachsen ist, bzw. welche Abmessungen für eine bestimmte Belastung erforderlich sind. Eine zutreffende Festigkeitsrechnung setzt die Kenntnis der Betriebsbedingungen - die sich hieraus ergebenden Belastungen - und genügend Erfahrungen für den Ansatz der zulässigen Spannung voraus. Wo diese Voraussetzungen fehlen, ist durch Versuche der Nachweis sowohl für die wirkliche Belastung im Betrieb als auch der Bauteilfestigkeit zu erbringen. Die praktische Festigkeitsrechnung beinhaltet - Ermittlung der Nennspannung - Ermittlung der Festigkeitswerte - Ansatz der zulässigen Spannungen. Überschlägige Auslegung von Wellen, Berechnung der Durchbiegung und kritische Drehzahlen werden im höheren Semester behandelt. 1.1 Ermittlung der Nennspannung 1.1.1 Bezeichungen und Dimensionen der verwendeten Formelzeichen A mm² a mm B, b mm b 1σ, b 1τ b2 CB d, D mm da, d i mm dm mm E N/mm² e mm F N h mm Iy , Iz mm4 It mm4 Torsion i mm K1, K2 kt kα Größenbeiwert l mm Mb Nmm Mt Nmm n N R, r mm Re N/mm² Rm N/mm² Rp0,2 N/mm² Rz SF SD Wt µm 3 3 Querschnitt, Fläche Achsenabstand Breite Oberflächenfaktor Größenfaktor Betriebsfaktor Durchmesser Außen-, Innendurchmesser mittlerer Durchmesser Elastizitätsmodul Randabstand Kraft, Längskraft Höhe Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmoment für Trägheitsradius Verhältniszahl für Festigkeitswerte technologischer Größenbeiwert formzahlabhängiger Länge Biegemoment Torsionsmoment Lastwechselzahl allgemein Lastwechselzahl (Schaden) Radius Streckgrenze, Fließgrenze Zugfestigkeit, Bruchfestigkeit 0,2%-Dehngrenze gemittelte Rauhtiefe Sicherheit gegen Fließen Sicherheit gegen Dauerbruch Biegewiderstandsmoment Torsionswiderstandsmoment αo - Anstrengungsverhältnis Anstrengungsverh. bei Formzahl allgemein Formzahl bei Zug, Biegung, Kerbwirkungszahl allgemein K.-Zahl bei Zug, Biegung, Torsion Kerbempfindlichkeitszahl Spannungsverhältnis αok Kerbwirkung αk αkz, αkb, αkt Torsion βk ηk κ σA, τA σo, τo σu, τu σm , τm σbF, τtF βkz, βkb, βkt - N/mm² Spannungsamplitude, Ausschlagfestigkeit N/mm² obere Spannung N/mm² untere Spannung N/mm² mittlere Spannung N/mm² Fließgrenze bei Biegung, Torsion 0,2%-Dehngrenze bei Biegung, Torsion σb0,2, τt0,2 N/mm² σbB, τtB N/mm² Bruchfestigkeit bei Biegung, Torsion σvN, σvG, N/mm² Vergleichsspannung nach NSH, σvS GÄEH, SSH σD, τD σW , τW σw, τw N/mm² Dauerfestigkeit Schwellfestigkeit N/mm² Wechselfestigkeit N/mm² Wechselspannung σSch, τSch N/mm² W y , W z mm mm Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite -1- 1.1.2 Ermittlung der Kraftgrößen im Querschnitt An einem Körper (nachfolgendes Bild) greifen die Kräfte F1, F2, F3 und F4 an. Der Körper ist am anderen Ende fest eingespannt. An einem gewählten Querschnitt A - durch Schraffur hervorgehoben - sollen die inneren Kräfte = Schnittkräfte + Schnittmomente ermittelt werden. In Gedanken schneidet man das stark ausgezogene Stück ab und bringt es wieder ins Gleichgewicht über die 6 Gegewichtsbedingungen ∑F ∑F ∑F x y =0 =0 =0 z ∑M ∑M ∑M x y z =0 =0 =0 Ermittlung der inneren Kraftgrößen - Schnittkräfte und Schnittmomente: a) Schnittkräfte Fx, Fy, Fz b) Schnittmomente Mx = Mt, My = Mby, Mz = Mbz c), d) und e) Darstellung der Schnittmomente als Kräftepaare Die Kraftgrößen bezeichnet man folgendermaßen: Fx Längskraft oder Stabkraft Fy Querkraft in y - Richtung Fz Querkraft in z - Richtung M t Torsionsmo ment M by Biegemomen t um y - Achse M bz Biegemomen t um z - Achse Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 2 - Die 6 Gleichungen für obiges Beispiel lauten: ∑F ∑F ∑F x y = 0 Fx − F1 − F2 = 0 = 0 Fy − F3 = 0 = 0 Fz + F4 = 0 z ∑ M( ) ∑ M( ) ∑ M( ) S x S y S z = 0 M t − F3 * l 3 = 0 = 0 M by + F2 * l3 + F4 * l 2 = 0 = 0 M bz + F3 * l1 = 0 Die inneren Längskräfte und die beiden Biegemomente rufen in allen Punkten des Querschnittes Normalspannungen σ hervor, die beiden Querkräfte und das Torsionsmoment ergeben Schubspannungen τ. Für jede Kraftgröße werden die Spannungen berechnet! 1.1.3 Normalspannung aus Längskraft Die Längskraft Fx ruft in allen Punkten des Querschnitts A die Normalspannung σx = Fx  N  A  mm 2    hervor. Wobei man positive Normalspannungen als Zugspannungen bezeichnet, negative Normalspannungen als Druckspannungen. Zugspannung bzw. Druckspannung einer im Schwerpunkt der Querschnittsfläche angreifenden Längskraft, oben kreisförmiger Stab, unten T-Profil Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 3 - 1.1.4 Normalspannung aus Biegemoment Das Biegemoment um eine Hauptträgheitsachse, z.B. Mby umd die y-Achse ruft die Biegespannung σby hervor: σ by = M by Iy  N  *z  2   mm  Die Verteilung der Normalspannung zeigt nachfolgendes Bild. Die Spannung wächst mit z von Null bis zum größten Wert für max. z = e1 auf der Zugseite und max. z = e2 auf der Druckseite. Verteilung der Biegespannung am Beispiel eines Querschnittes mit T-Form größte Zugspannung - größte Druckspannung: max (σ by )zug = M by Iy Iy * e1 = M by Wb1 M by Wb 2 max (σ by )druck = M by * e2 = Für die Ermittlung der axialen Flächenmomente und Widerstandmomente stehen für die gängisten Profile Tabellen zur Verfügung. (siehe auch unter 3.1.7) Bei Achsverschiebung sei auf die Beziehung des Steinerschen Satz verwiesen: Iη Trägheitsm oment um die I y = Iη + A * a 2 η − Achse (parallel zur y - Achse) durch Schwerpunk t S I y Trägheitsm oment um die y - Achse (parallel versetzt zu Schwerpunk t S a Abstand der Achsen y und η A Querschnit tsfläche Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 4 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 5 - 1.1.5 Resultierende Normalspannung aus Längskraft und Biegemomenten Die resutlierende Normalspannung für einen Punkt mit den Koordinaten y,z erhält man durch Addition der Normalspannungen aus Längskraft Fx, Biegemoment Mby und Biegemoment Mbz. Mit den für den Querschnitt kennzeichnenden Größen A, Iy und Iz ergibt sich die resultierende Normalspannung: σr = Fx M by M + * z − bz * y A Iy Iz Beispiel: Für den nebenstehenden Querschnit sollen unter den Lasten Fx = 24000 N, Mby = 1*106 Nmm, Mbz = - 4*105 Nmm die max. Normalspannung berechnet werden. Für den Querschnitt erhält man: A = 2,4 *103 mm 2 Iy = 1,36*106 mm 4 Iz = 4*105 mm 4 Im Eckpunt unten links wird dann die Normalspannung σr = 2,4 *104 1*10 6 − 4 *10 6  N  + * 30 − * 30 = 62,0  3 6 6 2 2, 4 *10 1,36 *10 4 *10  mm   ( ) Im Eckpunt oben rechts wird die Normalspannung Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 6 - σr = 2,4 *104 1*10 6 − 4 *10 6  N  + * (− 50 ) − * (− 10 ) = −36,8 3 6 6 2 2, 4 *10 1,36 *10 4 *10  mm   ( ) 1.1.6 Schubspannung aus Querkräften Im allgemeinen treten mit den Biegemomenten gleichzeitig Querkräfte auf. Bei längeren auf Biegung beanspruchten Stäben sind die Querkräfte nur in den Querschnitten von Bedeutung, wo die Biegemomente gering sind und gleichzeitig die Querschnittsabmessungen klein gehalten sind, z.B. kurze Endzapfen von Wellen. Der Verlauf der Schubspannung, erzeugt durch eine Querkraft ist nicht gleichmäßig über den Querschnitt verteilt. Bei runden und rechteckigen Querschnitten liegt eine parabolische Verteilung vor, wie nachfolgendes Bild veranschaulicht. Kurze Bolzen und Niete werden oft auf Abscheren berechnet. Hierbei nimmt man als Bezugswert die mittlere Scherspannung τ mittel = Fz A Die wirklichen Schubspannungen sind in Wirklichkeit viel größer, weshalb die zulässigen mittleren Schubspannungen geringer angesetzt werden. 1.1.7 Schubspannung aus Torsion Ein Torsionsmoment ruft im Querschnitt Schubspannungen hervor, die Torsionsspannungen genannt werden. Das Verteilungsgesetz der Torsionsspannung ist verwickelter als das der Normal- bzw. Biegespannungen. Die größte Torsionsspannung erhält man mit dem Widerstandsmoment W t gegen Torsion max τ t = Mt Wt Für die gängigsten Querschnitte enthalten die nachfolgenden Tabellen die Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandsmomente W t Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 7 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 8 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 9 - Für häufige vorkommende Wellenquerschnitte im Maschinenbau gibt nachfolgende Tabelle Näherungswerte für die Flächen- und Widerstandsmomente 1.1.8 Weitere Spannungen Weitere Fälle der Spannungsermittlung seien nur kurz erwähnt, nicht aber in diesem Rahmen behandelt: ⇒ Normalspannung beim gekrümmten Biegeträger ⇒ Knick- und Beulspannung ⇒ Spannungen beim Stoß ⇒ Normalspannung zwischen zwei Flächen (Sonderfall Wälzberührung) Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 10 - 1.2 Statische Festigkeitswerte 1.2.1 Festigkeitswerte aus Zugversuch Die wichtigsten Festigkeitswerte von Metallen werden im Zugversuch (siehe unten) ermittelt. Die bekanntesten sind ⇒ Zugfestigkeit Rm ⇒ Streckgrenze Re ⇒ 0,2%-Dehngrenze Rp0,2 Auf diese Größen werden häufig andere Festigkeitswerte bezogen. Spannungs-Dehnungs-Diagramme unterschiedlicher Werkstoffe Zähelastische Werkstoffe - Baustähle, Einsatzstähle, Vergütungsstähle, Cu- und AlLegierungen - werden im Regelfall gegen Verformen dimensioniert. Als Werstoffkennwert dient bei ausgeprägter Streckgrenze Re, σF oder σdF und bei stetig ansteigender Fließkurve die 0,2%-Dehngrenze. Spröde Werkstoffe - Gußeisen GG, gehärtete Stähle - müssen gegen Bruch dimensioniert werden. Als Werkstoffkennwert dient Rm , σdB , σbB oder τtB . Ein Zusammenstellung gibt nachfolgende Tabelle: Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 11 - 1.2.2 Festigkeitswerte bei höheren Temperaturen Bei erhöhten Temperaturen sind die Warmstreckgrenze und die Warmfestigkeit maßgebend. Oberhalb der Kristallerholungstemperatur (für Stähle etwa 350°C) kommt der Fließvorgang nicht mehr zum Stillstand, solange die Belastung einwirkt. Man definiert hierfür eine Zeitdehngrenze Rp/10^5/θ bzw. Zeitstandfestigkeit Rm/10^5/θ . Genaue Angaben für die Werkstoffwerte bei höheren Temperaturen sind im "Stahlschlüssel" nachzuschlagen. Für überschlägige Berechnung kann das nachfolgende Diagramm verwendet werden: bei 20°C: a) Ro,2 = 260 N/mm² b) Ro,2 = 300 N/mm² c) Ro,2 = 260 N/mm² Bei niedrigen Temperaturen neigen einige Werkstoffe zu einem verformungsarmen Sprödbruch. Dadurch können eventuell auftretende Spannungsspitzen, die bei Raumtemperatur durch plastische Verformung unschädlich ausgeglichen werden, bei tiefen Temperaturen schon zum Sprödburch führen. Als Maßstab dient die Kerbschlagzähigkeit, weitere Angaben im Tabellenbuch "Stahlschlüssel". 1.2.3 Festigkeitswerte als Näherungswerte bei anderen Belastungsarten Liegen die Druck-, Abscher- und Verdrehfestigkeitskennwerte nicht vor, so können zur näherungsweisen Ermittlung aus der Zugbeanspruchung die in nachfolgender Tabelle angegebenen Werte verwendet werden. Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 12 - 1.2.4 Festigkeitswertefür Werkstoffauswahl aus Tabellen Rollof/Matek Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 13 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 14 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 15 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 16 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 17 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 18 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 19 - 1.3 Dynamische Festigkeitswerte 1.3.1 Belastungsfälle Man unterscheidet im wesentlichen die Belastungsfälle ⇒ statische Belastung (I) ⇒ reine Schwellbeanspruchung (II) ⇒ reine Wechselbeanspruchung (III) Bei der dynamischen Belastung schwingt die Spannung zwischen der Oberspannung σo und der Unterspannung σu , oder um die Mittelspannung σm mit dem Spannungsausschlag σa . 1.3.2 Dauerfestigkeit und Zeitfestigkeit Bei dynamischer Belastung spielen die statischen Festigkeitswerte des Werkstoffes keine Rolle. Bei dynamischer Belastung sind nur die Dauerschwingfestigkeit und die Zeitfestigkeit zu beachten. Zwischen den statischen Festigkeitswerten und den Dauerfestigkeitswerten lassen sich aber je nach Werkstoffart bestimmte Verhältniswerte feststellen, wonach die Dauerfestigkeitswerte überschlägig berechenbar sind, wenn keine Dauerfestigkeitsschaubilder vorhanden sind. Dimensionierung auf Dauerfestigkeit Die Dauerfestigkeit σD ist diejenige Spannung, die ein glatter, polierter und kreiszylinderischer Stab von 10 mm Durchmesser bei dynamischer Belastung mit Spannungsausschlag σA und einer konstanten Mittelspannung σm ≠ 0 gerade noch beliebig lange ohne Bruch oder schädigende Verformung aushält - Schwingspiel- oder Lastspielzahl N ≥ 107 für Stahl. Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 20 - Allgemein gilt: σ D = σm +σ A für die Sonderfälle von reiner Schwellbeanspruchung oder reiner Wechselbeanspruchung ergibt sich daraus: reine Wechselbeanspruchung: σ w = ±σ A reine Schwellbeanspruchung: σ Sch = 2 * σ A mit σ m = 0 mit σ m = σ A Die Dauerfestigkeitswerte bei verschiedener Belastung bei ungekerbter Probe zeigt nachfolgende Tabelle: Belastungsfall Belastungsart Zug Druck I ruhend Rm σ dB Re , Rp0,2 σ D =σm ±σA σA σ Sch σW Red , σ d0,2 σ D =σm ±σA σ dA σ dSch σ dW Statische Belastung Fließgrenze Dauerallgemein Festigkeit Ausschlagfestigkeit SchwellII schwellend festigkeit WechselIII wechselnd festigkeit Biegung σ bB σ bF , σ b0,2 σ bD = σ bm ± σ bA σ bA σ bSch σ bW Torsion τ tB τ tF , τ t0,4 τ tD = τ tm ± τ tA τ tA τ tSch τ tW Zeitfestigkeit Sinngemäß werden Spannungswerte, bei denen noch Dauerbruch auftritt, als Zeitfestigkeit bezeichnet. Der Zusammenhang zwischen Dauerfestigkeit und Zeitfestigkeit wird aus dem Wöhlerdiagramm deutlich (siehe unten). Wegen der Streuungen der Dauerfestigkeitswerte werden die Festigkeitswerte im allgemeinen für eine bestimmte Überlebenswahrscheinlichkeit Pü angegeben. Im Gegensatz zu den Wälzlagern wird hierbei die Zahl der überlebenden Bauteile als Index verwendet. Es bedeutet Nσ,Pü=90, daß 90% aller Bauteile den Versuch mit der Lastspielzahl N überleben. Im untenstehenden Dauerfestigkeitsschaubild ist die Schadenslinie nach French eingetragen. Die Schadenslinie gibt an, mit welcher Beanspruchung und Lastwechselzahl N ein Bauteil im Zeitfestigkeitsbereich belastet werden darf, ohne daß das Bauteil als geschädigt anzusehen ist. Das Bauteil geht bei Belastung bis zur Dauerfestigkeit nicht zu Bruch. Diese Erscheinung ist deshalb wichtig, da in realen Verhältnissen mit einzelnen höheren Beanspruchungen zu rechnen ist. Solange die Beanspruchungen über den Werten der Dauerfestigkeit nicht die Lastwechsel ni überschreiten, ist Dauerfestigkeit gewährleistet. Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 21 - Wöhler-Linien für Überlebenswahrscheinlichkeiten von 90%, 50% und 10% für Werkstoff Stahl 34CrMo4 Liegen für verschiedene Mittelspannungen σm mit den entsprechenden Ausschlagspannungen σA die Dauerfestigkeitswerte vor, so können hierfür die Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith (siehe unten), nach Haigh oder Moore-KommersJasper gezeichnet werden. Da aber nicht für aller Werkstoffe und Beanspruchungen Dauerfestigkeitsschaubilder vorliegen, werden häufig auch Näherungskonstruktionen verwendet. Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 22 - Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith: wirklicher Verlauf 1 und Näherungskonstruktion 1a (A-D-E-G-A') für glatte Zug-Druck-Probe gestrichelt: Näherungskonstruktion 2 für eine gekerbte Probe Näherungskonstruktion: 1. Auftragen von ±σW auf Ordinate (A, A') 2. im Ordinatenabstand Rm auf einer Parallelen zur Abszisse von B σW /2 abtragen © 3. Punkte A und C verbinden und Paralle zur Abszisse in Höhe Rp0,2 antragen (D - E)→ A-D-E = obere Grenzspannungslinie σo 4. Senkrechte durch D und Strecke F-D von F aus nach unten antragen → untere Grenzspannungslinie σu = A'-G-E Dauerfestigkeitswerte Für eine Reihe von Werkstoffen gibt es Dauerfestigkeitsschaubilder. Für die gängisten Stähle und Gußeisen sind diese aus dem Tabellen-Teil von Roloff/Matek übernommen. Umfangreiche Dauerfestigkeitsschaubilder bietet Richard Hähnchen, Dauerfestigkeitsbilder für Stahl und Gußeisen, Carl Hanser Verlag, München, 1963 Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 23 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 24 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 25 - Die Dauerfestigkeitswerte werden für jede Belastungsart (Zug-Druck, Biegung, Torsion) und Werkstoff getrennt ermittelt. Meist ist jedoch kein Dauerfestigketisschaubild bekannt. Es ist Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 26 - aus den Werten σW, Re bzw. Rp0,2 und Rm das Dauerfestigkeitsschaubild näherungsweise zu konstruieren. Stehen für die verschiedenen Belastungsarten keine Dauerfestigkeitswerte zur Verfügung, so können die mittleren Dauerfestigkeitswerte aus den Werten des Zugversuches nach folgender Tabelle oder nach Methode Roloff/Matek errechnet werden: Direkte Berechnung der mittleren Dauerfestigkeitswerte: Werkstoff Zug3 σW σSch 0,45*Rm 1,3*σW 0,41*Rm 1,7*σW 0,40*Rm 1,6*σW 0,25*Rm 1,6*σW 0,30*Rm Biegung1 σbW 0,49*Rm 0,44*Rm 0,41*Rm 0,37*Rm 0,4*Rm σbSch σbF 1,5*σbW 1,5*Re 1,7*σbW 1,4*Re 1,7*σbW 1,4*Re 1,8*σbW Torsion 1 Baustahl Vergütungsstahl Einsatzstahl2 Grauguß Leichtmetall 1 2 τtW τtSch 0,35*Rm 1,1*τtW 0,30*Rm 1,6*τtW 0,30*Rm 1,4*τtW 0,36*Rm 1,6*τtW 0,25*Rm - τtF 0,7*Re 0,7*Re 0,7*Re - für polierte Rundprobe von etwa 10 mm Durchmesser im einsatzgehärtenen Zustand, ermittelt an Rundprobe von etwa 30 mm Durchmesser mit Rm und Re von Kernmaterial für Druck ist σSch größer, z.B. bei Federstahl σdSch ≈ 1,3*σSch für Grauguß ist σdSch ≈ 3*σSch 3 Berechnung nach Methode Roloff/Matek: Für verschiedene Werkstoffe gibt Roloff/Matek die mittleren Festigkeitswerte gemäß folgender Tabelle (Tab3-1) an. Bei den Werten K1 = σW / Rm bzw. K1 = σbW / Rm oder K1 = τtW / Rm und den Werten K2 = σbF / Rm bzw. K2 = τtF / Rm sind Unterschiede zu obiger Tabelle festzustellen. Die Berechnung der Schwellfestigkeit nach Roloff/Matek gemäß folgender Formeln ist relativ umständlich, so daß für die näherungsweise Berechnung obige Tabelle einfacher in der Durchführung ist. Obere Grenzspannung und Auschlagfestigkeit in Abhängigkeit vom Spannungsverhältnis: σo≈ 1− σA ≈ σw ≤σ (1 + κ ) * (1 − K 1 ) F 2 − K1 τo ≈ 1− τ ≈ τw ≤τ (1 + κ ) * (1 − K 1 ) F 2 − K1 σo * (1 − κ ) 2 σ mit κ = u σo τo * (1 − κ ) 2 τ mit κ = u τo A Obere Grenzspannung und Ausschlagfestigkeit in Abhägigkeit von der Mittelspannung σo ≈ σA 1 − K1 *σ m + σ w ≤ σ F K1 1− 2 ≈σ o −σm 1 − K1 *τ m + τ w ≤ τ F K1 1− 2 τ A ≈ τo −τ m τo ≈ Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 27 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 28 - 1.3.3 Einflüsse auf Dauerfestigkeit Die bisher behandelten Dauerfestigkeitswerte gelten für glatte, polierte Probestäbe. Die Dauerfestigkeitswerte werden gemindert durch > Rauhheit oder chemische Einwirkung auf die Oberfläche > geometrische Gestalt des Bauteils (Kerben, Absätze, Bohrungen, etc.) > durch schroff endende Querpressungen(z.B. Wälzlagersitz, Preßsitz) Der Einfluß der Oberflächenbeschaffenheit wird mit dem Oberflächenbeiwert b1, die Baugröße mit dem geometrischen Größenbeiwert b2 berücksichtigt: Rollof/Matek unterscheidet den Oberflächenbeiwert für Zugdruck-/Biegebeanspruchung und Torsionsbeanspruchung, wogegen üblicherweise der Oberflächenbeiwert unabhängig von der Beanspruchung betrachtet wird. Oberflächenbeiwert für Zugdruck-/Biegebeanspruchung nach Roloff/Matek:  R  b1σ = 1 − 0,22 * lg Rz *  lg m − 1  20  Oberflächenbeiwert für Torsionsbeanspruchung nach Roloff/Matek: b1τ = 0,575 * b1σ + 0,425 Einen Überblick über die vorhandenen Rauhtiefen Rz gibt nachfolgende Tabelle. Sind Bauteile Korrosion ausgesetzt, so sind für Korrosion in Wasser Rz ≈ 400 µm und bei Korrosion in Salzwasser Rz ≈ 600 bis 1000 µm anzusetzen. Zur schnelleren Ermittlung des Oberflächenbeiwertes ist folgendes Diagramm hilfreich: Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 29 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 30 - Beim Größenbeiwert b2 wird im allgemeinen nur die geometrische Größe berücksichtigt. Roloff/Matek unterscheidet bei den Einflüssen in - geometrischer Größenbeiwert - technologischer Größenbeiwert - formzahlabhängiger Größenbeiwert allgemeine Bestimmung des Größenbeiwertes b2 bei Biege- und Torsionsbeanspruchung nach folgender Tabelle: d [mm] b2 10 1,0 20 0,94 40 0,88 60 0,85 80 0,82 100 0,8 200 0,75 300 0,7 bei Zug-Druck-Beanspruchung ist der Beiwert b2 = 1 Bestimmung nach Roloff/Matek b2 = kt * k g * kα Daß der Genauigkeit des Größeneinflußfaktors nicht zu große Bedeutung beizumessen ist, zeigt das Diagramm von Größeneinflußfaktor und Streubereich der Versuchsergebnisse Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 31 - Erhöhung der Dauerfestigkeit: Durch eine Reihe von Maßnahmen kann allerdings die Dauerfestigkeit (bei gekerbten Bauteilen als "Gestaltfestigkeit" bezeichnet) gesteigert werden: ⇒ Abbau von Spannungsspitzen durch sanfte Übergänge ⇒ günstigerer Kraftfluß durch Entlastungskerben ⇒ Erzeugung von Druckspannungen in der Randzone durch einmaliges Überschreiten der Streckgrenze, z.B. Kaltwalzen ⇒ Erzeugung von Druckvorspannungen durch Kugelstrahlen ⇒ durch wiederholte Belastungen knapp unterhalb der Dauerfestigkeit: "Hochtrainieren" ⇒ Erzeugung von Druckeigenspannungen infolge von Gefügeumwandlungen in der Randzone, z.B. Einsatzhärten, Flamm- und Induktionshärten, Nitrieren 1.3.4 Ermittlung der Dauerfestigkeit ohne Kerbwirkung Aus den Dauerfestigkeitswerten der polierten ungekerbten Probe ergibt sich die Dauerfestigkeit für das ungekerbte Bauteil unter Berücksichtigung des Oberflächenbeiwertes und des geometrischen Größenbeiwertes zu σ WN = σ W * b1 * b2 τ WN = τ W * b1 * b2 1.3.5 Ermittlung der Dauerfestigkeit bei Kerbwirkung = Gestaltfestigkeit Als Maß für die Minderung der Dauerfestigkeit von ungekerbter Probe zu Gestaltfestigkeit von gekerbter Probe (Probendurchmesser ca. 10 mm) wird für jede Beanspruchungsart Zug-Druck, Biegung, Torsion - die Kerbwirkungszahl βk eingeführt: βk = σW σ WK σ bW * b1 * b2 β kb Die Gestaltfestigkeit einer biegewechselbeanspruchten gekerbten Welle ergibt sich zu σ bWK = die Gestaltfestigkeit einer torsionswechselbeanspruchten gekerbten Welle ergibt sich zu τ tWK = τ tW * b1 * b2 β kt σ bWK und τ tWK stellen dabei zulässige Werkstoffkennwerte dar. D.h. für gekerbte Bauteile werden bei der Methode der Gestaltfestigkeitsrechnung die zulässigen Werkstoffwerte entsprechend der Kerbwirkung reduziert. Anhaltswerte für Kerbwirkungszahlen gibt die Tabelle TB3-9 und genauere Werte die Tabelle TB 3-10 von Rollof-Matek Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 32 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 33 - Die Kerwirkungszahl ist abhängig von der Kerbwirkung und der Stützwirkung. Kerbwirkung: Die Höhe der Spannung und ihre Verteilung im Bauteilquerschnitt hängt von der äußeren Belastung - Zug-Druck, Biegung, Torsion - und von den Querschnittsveränderungen ab. Spannungsverteilung bei statischer Beanspruchung: im ungekerbten Bauteil a) Zugbeanspruchung b) Biegebeanspruchung im gekerbten Bauteil a) Kraftlinienverlauf bei Zug b) Zugbeanspruchung c) Biegebeanspruchung Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 34 - Während beim ungekerbten Bauteil die Spannungsverteilung gleichmäßig ist, kommt es beim gekerbten Bauteil zu einer Verdichtung der Kraftflußlinien und somit zu einer Überhöhung der Spannung im Kerbbereich. Die Erhöhung der Spannung gegenüber der Nennspannung σn wird mit der Formzahl α k erfaßt: αk = α kb α kt σ max σn σ = b max σ bn τ = t max τ tn Solange die max. Spannung kleiner als die Fließspannung ist (Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes), ist die Kerbformzahl nur von der Kerbgeometrie und der Beanspruchungsart abhängig. Kerbstützwirkung – Kerbempfindlichkeit bei schwingender Beanspruchung Gleichartige Kerben wirken sich in Bauteilen aus spröden Werkstoffen wesentlich ungünstiger auf die Dauerfestigkeit aus als in Bauteilen aus Werkstoffen mit hoher Duktilität. Bei duktilen Werkstoffen können Spannungsspitzen durch Überschreiten der Elastizitätsgrenze weitgehend abgebaut werden. Die vom Kerbgrund weiter entfernt liegenden Querschnittsbereiche, die im elastischen Verformungsbereich liegen, werden somit stärker belastet und übernehmen im Bereich der Kerbe eine Stützfunktion. Bei duktilen Werkstoffen schadet ein geringes Überschreiten der Dauerfestigkeit im Kerbbereich nicht. Abhängig von der Kerbempfindlichkeit des Werkstoffes ist die Kerbwirkungszahl 1< βk < αk Nach Thum ergibt sich die Kerbwirkunszahl βk mit der Kerbempfindlichkeitsziffer ηk aus der Formzahl α k ηk = 1 Rp 0 , 2  8  1 + * 1 −  r  Rm  3 β k = 1 + η k * (α k − 1) Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 35 - Die Formzahl α k ist für eine Reihe von Kerbfällen ermittelt, wie nachfolgende Diagramme nach Roloff/Matek wiedergeben: Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 36 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 37 - Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 38 - Allgemeine dynamische Beanspruchung Bei einer allgemeinen dynamischen Belastung mit konstanter Mittelspannung σm ≠ 0 infolge konstanter Belastung und einem Spannungsausschlag σa infolge einer rein schwingenden Belastung muß bei einem gekerbten Bauteil die maximale Kerbspannung im Kerbgrund aus dem statischen und dem schwingenden Anteil berechnet werden. Nachdem oben dargestellten Erkenntnissen ist die statische und die dynamische Beanspruchung für die maximale Kerbspannung im Kerbgrund die Beziehung σ max = α k * σ mn + β k * σ an bzw. τ t, max = α k * τ t ,mn + β k * τ t ,an Die Nennspannungen sind die größten Spannungen im Restquerschnitt des Bauteils unter Vernachlässigung der Kerbwirkung 1.4 Festigkeitswerte bei zusammengesetzter Beanspruchung Die Festigkeitswerte der Werkstoffe werden gewöhnlich bei einachsiger Beanspruchung ermittelt. Bei technischen Anwendungen liegen meist zusammengesetzte Beanspruchungen vor, z.B. Biegung und Torsion. Die Spannungsanteile der einzelnen Beanspruchungen werden zu einer Vergleichsspannung σv zusammengefaßt und mit dem einachsigen Festigkeitswert verglichen. Für die Bildung der Versgleichsspannung σv gibt es zeitlich gleichen Abhängigkeiten der Beanspruchungen 3 Theorien: Gestaltänderungsenergie-Hypothese: Bei dieser Theorie ist die im Körperelement gespeicherte Energie durch elastische Verformung maßgeblich. Wird der werkstoffspezifische Grenzwert überschritten, so versagt das Bauteil. Die Gestaltänderungsenergie-Hypothese ist für die Rechnung gegen Fließen (Gewaltbruch) bei verformungsfähigen Werkstoffen und Rechnung gegen Dauerbruch anwendbar. Diese Hypothese ist damit für nahezu alle praktischen Fälle brauchbar. σ vG = (σ x −σ y ) 2 + 3 * τ xy 2 für ebenen Spannungszustand für die meisten praktischen Berechnungen liegt nur einer Richtung Normalspannung vor, so dass sich vereinfacht ergibt: σ vG = (σ z + σ b )2 + 3 * τ t 2 dabei ist die Normalspannung aus Zug-/Druckbeanspruchung und die Biegespannung meist gleichgerichtet und die Schubspannung infolge Torsion senkrecht zu den Normalspannungen. Schubspannungs-Hypothese: Bei dieser Theorie ist das Überschreiten der Gleitfestigkeit durch die größte wirkende Schubspannung maßgebend. Diese Hypothese kann für Werkstoffe mit ausgeprägter Steckgrenze angewandt werden. σ vS = (σ x −σy ) 2 + 4 * τ xy 2 Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 39 - Normalspannungs-Hypothese Diese Theorie unterstellt, daß der Bruch senkrecht zur größten Normalspannung erfolgt. Für spröde Werkstoffe (max. Zugspannung bei Bruch = max. Scherspannung bei Bruch) kann diese Hypthese angewandt werden. σ vN = 1 1 *σx +σy + * 2 2 (σ x −σ y ) 2 + 4 * τ xy 2 Gültigkeit der Vergleichspannung Die Vergleichsspannung ist nur für gleiche zeitliche Abhängigkeit gültig. Sind z.B. Biegung und Torsion statisch oder beide wechselnd, so kann die Vergleichspannung gebildet werden. Ist dies nicht der Fall, so ist jeweils aus den statischen Anteilen eine statische Vergleichsspannung und aus den dynamischen eine dynamische Vergleichsspannung zu bilden: σ vG = σ v G stat + σ vG dyn Diese Vergleichsspannung ist dann mit dem Dauerfestigkeitsschaubild der Normalbeanspruchung zu vergleichen. 1.5 Zulässige Spannung und Sicherheit 1.5.1 Ansatz: Nennspannung ≤ zulässige Spannung = Werkstoffkennwert K Sicherheit * Betriebsfaktor σ zul = K S * CB Der Werkstoffkennwert K steht z.B. für Streckgrenze Re, Biegefließgrenze σbF, Verdrehgrenze τtF, Biegefließgrenze bei Kerbwirkung σbFK, nutzbare Biegewechselfestigkeit σbWN, Gestatfestigkeit σbWK , usw.. Allgemein ist der Werkstoffkennwert diejenige Nennspannung, bei der am Bauteil eine unzulässige Veränderung auftritt, wie Dauerbruch oder unzlässige plastische Verformung, Ausknicken oder Gewaltbruch oder ein unzulässig hoher Verschleiß. 1.5.2 Bestimmung des Betriebsfaktors C B Allgemein gibt der Betriebsfaktor das Verhältnis von der im Betrieb auftretenden Spannung zur Nennspannung wieder. Für die meisten Fälle ist die Spannung proportional der Belastung. CB = σ Betr σ oder einfacher CB = FBetr F Für FBetr ist hierbei einzusetzten: a) bei dynamischer Überlastungsgefahr die größte Gesamtkraft, sich ständig wiederholende Bealstung (Nennlast * staische und dynamische Zusatzkräfte) b) bei statischer Überlastungsgefahr die größte Gesamtkraft, mit der unter ungünstigsten Umständen gerechnet werden muß, auch wenn sie nur einmalig auftritt. Anhaltswerte für den Betriebsfaktor liefern nachfolgende Tabellen von Roloff/Matek: Vorlage zur Vorlesung Mechatronische Elemente Teil 1 Seite - 40 - 1.5.3 Ansatz der Sicherheit Bei der Wahl der Sicherheit sind einerseits die Folgen einer Überschreitung der Nutzfestigkeit, wie z.B. Lebensgefahr, langwierige Betriebsunterbrechung oder leichte Behebung des Schadens) und anderseits der Einfluß auf die Wirtschaftlichkeit und den Gebrauchswert des Bauteils abzuwägen. Übliche Werte sind: Rechnung gegen Dauerbruch Rechnung gegen Verformen Rechnung gegen Bruch (Rechnung gegen Instabilität - Knicken) S = SD = 1,5 ..... 3 S = SF = 1,2 ...... 2 S = SB = 2 ......... 4 (S = SK = 3 .........5) 1.5.4 Weitere Vorschriften und Normenwerke Für Stahlbauten sind die zulässigen Spannungen nach den Grundnormen DIN 18800 T1 bis T/ behördlich vorgeschrieben. Im Kranbau gilt die Norm DIN 15018. Weitere Vorschriften bestehen für Drahtseile in Aufzügen und Seilbahnen und Aluminiumkonstruktionen (DIN 4113). 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